Perfect Numbers

Perfect numbers are gateways to the wonders of the mathematical world. Contemplating them, one realizes how small our human minds really are compared to the reality that surrounds us, and creates us.

Definition

A perfect number is a positive integer that is equal to the sum of its positive divisors excluding itself.  The first perfect number is six. Six is the number of sides to each cell in the bee’s honeycomb,  or the number of points of all snowflakes.  ALL SNOWFLEKES HAVE SIX CORNERS, OR POINTS. Amazing, isn’t it? There is an infinite number of snowflakes, each different from every other, but every one of them has six points.

Six is a perfect number because both the sum and the product of its constituents add up to six: 1+2+3=6, or 1 x 2 x 3=6.

The second perfect number is 28: 1+2+4+7+14=28.  This is followed by the perfect numbers 496 and 8128.

( A clear and in-depth discussion of the relationship between primes and perfect numbers, as well as the history of mathematical discovery, can be found  at the MacTutor site, written by J J O’Connor and E F Robertson. )

Discovery

Greek Mathematicians only knew about the first four perfect numbers; the mathematician Nicomachus had noted 8,128 in the first century CE.  In 1456, someone recorded a fifth perfect number, 33,550,336. In 1588, the Italian mathematician Pietro Cataldi found  the sixth (8,589,869,056) and the seventh (137,438,691,328) perfect numbers.

Euclid found a formula that works for the first four perfect numbers: 2p−1(2p−1), (p is a prime number):

for p = 2:   21(22−1) = 6
for p = 3:   22(23−1) = 28
for p = 5:   24(25−1) = 496
for p = 7:   26(27−1) = 8128.

He proved that whenever  2p−1 is a prime number, 2p−1(2p−1) is an even perfect number.

For 2p−1 to be prime, it is necessary that p itself be prime. Prime numbers of the form 2p−1 are so-called “Mersenne primes“. after the seventeenth-century methematician Marin Mersenne.

Not all numbers of the form 2p−1 with a prime p are prime numbers. For example, 211−1 = 2047 = 23 × 89.  In fact, Mersenne primes are very rare—of the 78,498 prime numbers p below 1,000,000, 2p−1 is prime for only 33 of them.

In the 18th century Leonhard Euler proved that the formula 2p−1(2p−1) will yield all the even perfect numbers. He found that there is a one-to-one relationship between even perfect numbers and Mersenne primes; each Mersenne prime generates one even perfect number, and vice versa. This result is called the Euclid–Euler Theorem. As of June 2010, we know 47 Mersenne primes and therefore 47 even perfect numbers.  The largest of these is 243,112,608 × (243,112,609−1) with 25,956,377 digits.

There is no proof that there are infinitely many Mersenne primes and perfect numbers.

 

The First 23 Perfect Numbers

Watch how rapidly their size grows:

6,
28,
496,
8128,
33550336,
8589869056,
137438691328,
2305843008139952128,
2658455991569831744654692615953842176,
191561942608236107294793378084303638130997321548169216,

131640364585696483372397534604587229102234723183869431
17783728128,

144740111546645244279463731260859884815736774914748358
89066354349131199152128,

 

2356272345726734706578954899670990498847754785839260071014302
7597506337283178622239730365539602600561360255566462503270175
0528925780432155433824984287771524270103944969186640286445341
2803383143979023683862403317143592235664321970310172071316352
7487298747400647801939587165936401087419375649057918549492160
555646976,

 

1410537837067120690632079580860631898814867435147156678388386
7599995486774265238011410419332903769025156195056870982932716
4087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297
4467232951666582288469268077866528701889208678794514783645693
1392206037069506473607357237869517647305526682625328488638371
5072974324463835300053138429460296575143368065570759537328128,

 

5416252628436584741265446537439131614085649053903169578460392
0818387206994158534859198999921056719921919057390080263646159
2800138276054397462627889030573034455058270283951394752077690
4492443149486172943511312628083790493046274068171796046586734
8720992572190569465545299629919823431031092624244463547789635
4414813917198164416055867880921478866773213987566616247145517
2696430221755428178425481731961195165985555357393778892340514
6222324506715979193757372820860878214322052227584537552897476
2561793951766244263144803134469350852036575847982475360211728
8040378304860287362125931378999490033667394150374722496698402
8240806042108690077670395259231894666273615212775603535764707
9522501738583051710286030212348966478513639499289049732921451
07505979911456221519899345764984291328,

 

1089258355057829337698225273522048981957108454302608067318906
6185084701552986169962919409618589013795461826855312200557627
8075934240749906604670418208308712462692637816441093145096882
6355205573671671624202686633360807123109470452668371537599662
7974849343590397799542136665988202995013663801646190802604032
3522955673055416399230300975265135032061993056367369528015302
3049498468696618144072021372831425963701460505606378119245841
3865526001453840729833097171419500854980857096713870548683204
7797229905527391479844693621414786070688705210731238006707260
2317009422809314774791894700769891009818743169303028154303290
0711993929842929402838522178001666292291571102640805992940164
5248302852815333111952344142315961493414026555024236000785821
5936798489500727196347516386044241721984706558329364277995903
1022920346206280807523424229064012830270346496714455693242819
4685962217756664337548971567845131179267593598101035556288797
1948569016060035334607879359770371846507659970601616998311983
8781504207633062894908864299004817864995376453798393652127254
9444151193277218276814994365984900745724698386155826514482319
1367758350341527780770221556945275566504831636564856831502556
0780581330434000556535404133132660346393552028340061269054915
6956054248955102320738227613735266571701826151960481741711257
6526410535323991500058749996247580834453782528,

 

994970543370864734424352026045228169896438635711264085
11774020575773849326355529178686629498151336416502516
645641699516813140394897940636561646545947753232301453
603583223268085613647233768081645727669037394385696522
820301535888041815559513408036145123870584325525813950
487109647770743827362571822870567643040184723115825645
590386313377067112638149253171843914780065137373446222
406322953569124771480101363180966448099882292453452395
428270875732536311539266115116490704940164192417744919
250000894727407937229829300578253427884494358459949535
231819781361449649779252948099909821642207485514805768
288115583409148969875790523961878753124972681179944234
641016960011815788847436610192704551637034472552319820
336532014561412028820492176940418377074274389149924303
484945446105121267538061583299291707972378807395016030
765440655601759109370564522647989156121804273012266011
783451102230081380401951383582987149578229940818181514
046314819313206321375973336785023565443101305633127610
230549588655605951332351485641757542611227108073263889
434409595976835137412187025349639504404061654653755349
162680629290551644153382760681862294677414989047491922
795707210920437811136712794483496437355980833463329592
838140157803182055197821702739206310971006260383262542
900044072533196137796552746439051760940430082375641150
129817960183028081010978780902441733680977714813543438
752546136375675139915776,

 

335708321319867244370108772110803848411380284998797254
549962415734821584504440428820487788094376903884495357
742608498855736947599061738411574384247301308070476236
559422361748505091085378276585906423254824947614731965
790746560999186007644047021816602944691217787379658221
999016634780930060750223592232018499856361441771859254
020781850730150450977270848594647436355377815002849158
802448863064617859829560720600134749556178514816801859
885571366092248418178770836089511911231748852264161306
831977106673923510073745037554033525314762279435900716
517026975942410319555298989712180012146417746731349444
715625609571796578815564191221029354502997518133405151
709561679510954536494855761506601016891606580117701932
742263082805077868350495491125766545101196704567459398
901942052551753844844899093289676469881631559824715649
981962616327512831278795091980742531934095804545624886
643834653798850027355061539888515066451377592755539882
194254397647323998247124381250541175238374382567444370
550194410510064899723416091179784045637949920048730575
184557487014449512383771396204942879824895298272331406
370148374088561561995154576696079640521269081492656017
860944475955604400590500917635471140922553713974258078
675543521125421947848154947842762011708459492746746329
852104210755317849183589266903954636497214522654057134
843880439116344854323586388066453138262065911312662324
220078355773455842257203105186981433767362192830211192
876178961468855848600650488763157010887962195936408263
116222733280356033094756423908044994601567978553610182
466961012539222545672409083153854682409318461669624959
834076071416012518895444070088158747446547695072686780
517577469568912124854562611213866674077111396190715309
233558231786627053743930350490226038824797423347994071
302801487692985977437781930503487497407869280960339062
959101992381813385578569781918606472562097081682291161
563009780591970268557268776497670726849604634527631603
84093838292277544911857859658328888332628525056,

 

182017490401404302738351679147510152933628895069375961
033573594377400484384634858363032322589024008755689938
099750362463375567682383662337077575734159032780800661
159510925225431459520131190103404080998818359755909758
354990034632272805431407568026915256218947715439514036
568687077486060698850950363352835285818130886516538330
890527858342807232800672004849037067049701135210406040
645382741542521653731755956052486289986156878662353950
775203146401886343533188313973925170954131279610591697
838055450931202779742131617927127501892349736228535076
249246366875884613104691704360992382324925989373084777
939323616984806856647709327154304910076626824051630447
651079961643432612023559699127503344592385918751762922
798791813279729200902114448423067663311092691662351255
096687044789587348530686365293971534430167611588134474
815678682623678939811710202121897925140861480902151899
477042124072826879642670417838735430802615824488248584
318385541831537058370573414877007277315509978962393304
774712632307264848771175212548684681740155620684907136
447194816930894334185326368358089422007164408193133663
624031913555765231738251318753356477590162072329908428
759025487374808018982896582292108502216956634216496117
295772452084908778979458671719158738040613455446039193
382818843975386342599207381932593309508379238236154113
045435992906413307967546372297213140742451358652753942
923015328354145400357402535672324356738689682428065549
164673879451990261474688080310551502819157332879318981
817087792417244092775930947999012246418258501832814809
759888017510169019589888148494300879269386834086620841
768961641781706888715442294158244500555267871487153652
141423726928967889027616798109508282682081808453099865
813699103223723387184378923769240424253192262507111046
941251771109466504358292296092124419274732937817444867
759431731102954322267801864223439373845807088558522694
170123876145838848666132368751013008456037859452379254
473387849224526823370267756861916935837942435383098138
748060834393941168324721018840749361385171686125190774
028320745750322553692164170379796143939190195072443885
469243167871284402500989249287693523936985878108698311
278880846967517958453511304101996288217376366108866331
207144586238467849483624092083304162681448415655058698
276194514906341446407542035435074210450319957544805561
977638552139874764379909521730060555030173054813948365
919543887943145587864338244346732577534598256057486384
111453153953261600485921554904963630955901874038805450
698601512374735846393823559877792918863926144528383268
844685008534484206234822408410782027050041011727455866
72975106848437133377536,

 

114347317530386522718705105025630542903698399845347258
953322493649083349618821649476743519890641165253420870
953967829556145989016903595273682003067910373308598579
728574350084199086829208452772208923860341629640726357
096949317694798762487502022029664133470626055015605918
389541557767399692434126865160392192075315475755335057
849974685780471548156734551442915295514605922709625345
314061656209444408344969091839334791770561343949899910
798724950031124973875729822536558716428412762599977779
692816509611849636811651561350307161332863582367909042
948050859965394504403972593217793674044373240974094738
277630506629884344754314394878937814642322066866433977
898995067302716205054447216807587129950513660016098784
864017564276222030615155360130386281139332851377946816
569649176043985338207050744415642826117955222685621867
047036664500265890200210881182088564956299183199173232
465026462785896710968494251717449784126866174227020723
183038760675321205523070868614041636207733298175387184
389600946246913817517168247555082305936610911425830224
600704886527588707498935620674166666831347109375622558
889392838524498488830839494266854167475616157368710703
223976775548241686981224158876240444910815237021631862
148606709639748434349901505803360613611284463179478363
950028123892272585359795891166829940957908188401413921
000021214847462633982982690115686478499193251301799577
640827428120867074352898888679965461829963343091065532
412627029508658758902588263465797023813815325549591909
219325802830346944526125635952374101485975102762953016
610214656853675172699294865542513310569869212648472848
012203567878862714511445752966817312108062620177736146
585653555563042035257212183680927168037846963696041756
054286695964831527232512077530307167963927196009066708
363035954934707141931981991785121644668009112663959803
272267417750678341428045389965055673858492122240490389
334944133853166942490931176799323171756317139764144977
867853879303393005149929222136704210590985500546555667
385643338129484314119165861711224952035481542399478073
587291009813414493640109369209136412393536662021613725
653038689125977334709167739746590669208745819057402537
379581113657074164152315699123888955141460434653507612
102183232192581147529992846492564336154277273577462475
211679736269200332064224197568802997348599221066102495
313456453548986199849322875737327782534059306145115634
610835632464210043597642277761384937374919248589713254
623568708944368324156525634722198866045795498167949431
370165602203743364114617724117026665544244211931017697
668664250319042284328990843281093823860331408782176184
074481513855363063564579750919990054351763317077925503
558476789191856490039806128441274649534419489086536586
267570790656020422348314590186179280153407135798936432
699265532103245788964726795791430574992556517210819782
039908420689501703639455281541815668933220271995400138
684764241019837645606698268973721100324442630498534739
995812743935094297020300745342597744419125143214299544
866417648623899121656347532985034969872742970216038263
738552994896653329800456260420703953024892068973768288
728316813094602331986737179485261931738159984862432369
409900541512995529636710837431331313200861424919949200
763397535422422621590930600087174078308014491492464074
290540600578692319251902153816373543975817028132995815
952689583312061165870596310523984443682300844872007508
588024080283624930809588632033505401043028854398209296
528468108220122681593689369487831497424902675648494582
698757643872840224790185455337080004750941360297399806
113911494049989488500205747202763675815320963672454501
114388613140165022517716266197706174821960406842410512
297196389558482587116014492304318646427380162646162309
476619775469211656143033369205948730471293095149636150
570379555887098500410798659237221980850361566374757932
788005873419684835103916006020179025710126964599829182
043579353773814736150915325778117285906239704438277866
564572020249477389494910504344796403090616436473543394
469870861768290317940817098086414979390289516949794507
725279502726537895491899715944718572961369893634280184
798855508175038199091448660098735156488715274700896671
172189704655041358403267833754924767247446378496029299
954074053072000268283426972483000936490186981766084937
328742653925144042623717523338881075618053885112274976
675875578582167934166691212959998763800414118484214430
094095980692847958053156495196363490946267990580599422
335647346943229795103810895017831492579547754770234352
670780945811781061630617490996502741259093646253668726
704552720384214618899051636836396046191582968893259421
332505722974730263996364208413433372820329102494890369
148662167663062427460866171607836032606698286667644354
959747036199645360472547247305910942806694217192804737
823549579133652141814698120170218358745950304659775038
965536071681705614539785642450134102190251917474605617
229575524961716539559708613511166450534433554240880472
606446097282553336498409927715231601675085440375183091
218899434279824528594682705707160019994804699412115981
660133345610970007402548371413591832811329811871730030
180079079090849115347540166246592806870150067659165047
525683662967455661613825504328783747114328607840064485
793857526584783301089117154165873819800424114417361478
790337569598995599672788283357293549488913499570938134
410628864517173192820510732854306997868133247869100339
509814850685062912361030055104137997457379387716208437
535278966932759581938430052172484330290179058923714688
211643555592983915665872858828031555563296688363954423
771392818239167673053503683120123207205451036796866954
036886331024458508609122000111064190364201682186866755
058800071545862894260456384675350556577331953857495678
331173237285279493703645386830912538919426615350632669
408445273103807421630374541321516299201960492694313334
149527101110304360492237320103820651306430596595847563
267019098207850025389747388526209887730213436669131859
830241457547834511770140490577285132349679825584295772
16,

 

598885496387336159215158337179296643572869874198415438
721517031956294391267467138052833975210822790379645435
252765184809790907879059390832431456890763826317589211
758237474574018159857925570634144282954314842906400063
553663884242875986410271598361502228854072762831378553
289935007636618509623086614399709248699419865215841100
064058520556986140758791562598688902501114759998860081
837041267261910926840834156939147901883683592934604445
887790093281004039491643639906988228730211742465708290
649815465091229137126198956630386416170359815427838179
479070235472610399015035810959640653610781106772716202
393062410044423415928785961279533870544231701973513163
229825784566847945851733257855753088163409148988722084
210091625175105625266415505647159128966267046695766062
982729521155903897799050637426474617110612526598459278
585486968447249024042786308910850051017106038889061687
767151283091964070893823182959298891383459811079403729
066740772169275606698939480096480948919175320023826313
542796993224153325663400369376016129480939312138469723
199723534110595657777687480880412793207072338171511658
351904166668048242956453135022989001809464768832188595
267188382036606053289907501689359295334416673910623695
996312840110689651484585283440480471698222497719355503
194168560950281935485655294739301609663777113373659535
718967303547951623526956338396985018174631435834656785
781957446464286463809460246212247286223440883955123461
676820718682834656934175017941968544782841849057554072
567204274097863751252547881116514783088210584399664096
224612954055771939895263749729051585416405834890522726
931499793407634795102451963136189675604110386882667666
700202021296939123142592598861407877348129582919695159
135624222759532153769870798883632159023890309632619900
847829779211195760910227705676555741607808745978228036
024945439485997483773117861761846816143038325765449577
516576845228775618794694822323427772717649125027086076
998811187338852893643099277612863434755567049300968668
608075953921793767085814197717905978584997781578440077
423937447925873669288761103924157758615611230568564058
097818416825907409237840644980565685003936400472616338
363054823832113925515656141515345511440781430776107400
081182066238156903296613221289208392191798325657897497
026838673102803471094612120455368011519554557205053376
663671919907929622429762923746679903431626862986005514
917878931929165684488842314522696190750751104130758772
492742171221506476388227098197462790072396811258045100
484996907101399477804665561319641934728133590562936267
652166532237603284227934840610439816138264438446708643
682085053962432046459648769845201613113808872277523981
275235642270948095440191476800941546005369324739646459
243063300015084138888650243268999554932706194400103202
052002256475547454921546756210434441774249495366559167
821730580815611872299157633380987381812207714590674498
242069538447774482969637038762378605688864932175145427
786356322290946332387532834726569678238370085937344737
751948866649747361373588969170028812987868238296955348
481127935674306231597404181875425238311701462864830821
158701402077328211001889853890086949823322215668362320
216048221349456542834993635806413226788683589993095956
742107311836481298366437924635728768234856559136863642
247989697063646989127406234640433936180524078096916562
215885382221221440174447087595474342702340083128927752
717896538651110872000256594041548014611801466523195753
961690032322786290650070510846917869315870454207312856
770297593768844524696425727849441292728482259863151304
805682511045957634104047520304681087570488096199426249
870968715151352899262711414859028400306247511682097755
259210044273287907069828213053162082804915911440204049
504420189851777238231126675540195073124882510073151638
213199509097027588754146115313488501895618592704144939
889978242021363965347241635421115065464033561832225847
238709861244250411633809994450569265409560194147735449
585298329207794798511236425587495469494467899179662053
326961034916517867933367808057191175385336962971973530
250601332617559991043382608515546850921036964488304328
204714534588455104569762031196764380573914497030120132
291308170538348397837511623996297933672121009901941694
829665518167940396094144081711936184081318439929556609
569648834030333939030167533881530753927743675683048377
118347128650493153271095307571548267716602161565111731
981963404253792831860675668529002291340501102920781703
654993775479142326056554305406934385461270207799502316
565734128418269704729154185772068761081919140269479613
439718429584336562493991766156958042518706487778614666
958547617944366057917035046081816932122930397831885899
367394704668767909522089490980411104133713860758251156
103716971790705966662212818116148565527822567454545606
791772821700331972738940950104057875162524624791534716
722495993330597176066518166716680800409152545336552754
751419653578617676888721974359792782967881648099394891
147826325257661113821525698043547390457514434463473999
530885287210000009489867014184718369266887805926383484
231605051335786390632303781597551018628117508352980030
059724480548533949284681845788829364189309471523884413
954194859086869472657365044985433141123019472681576182
090016085717562012755665853499189921886618259400375906
348395090310900142148715431411955215491914127573351385
908146653482483997520485329568230705228757993906938515
288896844165579094197758186574987120643678489659211515
541853732261407728812733452051953588927628461384781414
660582371641376089400661867134510390162683271326617270
588318894292606033372701978317622740978994527704380727
470767368180702967071072288812051097001504045715988812
189767358074825262336006037202238159764792224045818165
003646975285929365924426658451465248929517024070447106
402584830973235253084098352978893906920352652116340904
008935681654751699242318452472319485281464039177405304
692021677989652462657737972297496705447616703675014511
838739629530737098712639069034012066077188936467469996
574123242443286789792602919789894555982048116453916717
116130063058668784438394777624864833158156184468926035
001575570475329794750896833182478324073496576,

 

395961321281794219696828788485460713824969501068746245
436484170885125075688673014301020049731249140478148511
212854529303826741055768743214695085104342636276581621
543490706923264684583069788071511449823714417163550336
640925782634675528515368641409361359174328898439571359
037160998899742685843687387166237722201413153501247058
297234026392454523691616511157891502427163904242340599
149802509067798524661588870881438949409718728804928741
597923578651092654849567104149517810943395597616943359
846307475279474983326167189441677958716402274572673181
655805918012841005246309787841688134642194058566568849
955624493203140561916719330987750212559827479969286184
822218678983923716141595071507648861332377760615741453
151626075717013415098778213935354873074267029074477960
322061805876900851394598593678840518468185740172186033
349146861551716026544710663577977511618969472596585843
364655560535230336900689582749149526672858462592336938
280558271554339829953425247830047480499001358305603050
451770874560440025479547061088405571229806974589743477
351645916265006110063864479914113556402614454769954992
429038968951570272571192369051970223194778956142268836
044271588050250072971865935171749859499506620579047311
955447604244958256359057944472155649853923166204721164
408160976216143056842434234224285443957671947089983380
533631653313717830298691691154365979059807730387590422
431505324251773573024685629833789231231652811763403716
602644042217713413024465968569885171902865690854349124
202958083002042939759794587849113406432329045463727011
447980098645857438182879079506622259099936707659450177
743426712691631043403557477854753286991754723451282888
139356155665717584815113619122033359157908305919145643
844840368705118017194275583960923745106882364827530407
127851502070132514464979707728124287588729390871314808
742508441612968738947745091983933638431964345635316976
460463537105612182099884561257736800797475272798995508
037281537933434184440769137668825965816123897456712660
308507572680091332221532614821878362681823228722332095
984102414407159566828752594388682713799508892678941642
074289578162911262683202147361892062641832643145885928
496075178899085034562885358939119508979988085762199145
701002086838359546009175703899847332136614809853604260
537767110594281044435544142200880309491340524737208284
218553575920734024526012003148226828966415525688992716
053015316159839563205401667255807339169075543418683756
069974611537664707564612444631312053953686439737851252
898233868543696105798819529401949859482350350489340321
012600598520186391242294522058752448783977457815116963
912496736282329325651320202480370642356855092517394916
161425779791239351135924259186986361947879791947236900
004714118120896593111142113728836076062474845487597250
154548349640590628826165409377096002527025186103764432
056727018106505197009004946070419550584312373315522093
494590815307001515620904127396169260297149218507614151
178100165503068703270237389090221503680738197561301104
829971475516722611512830727210125147628844286376762421
743171820536411312457039954948123609599045740937307631
596571868453453532286528709377156875802780952535790728
250097901129344323116557556944573299237047600092094292
253892666709551369970416134059216115974623621977307135
676375484063995712275085898518580611975423788009932794
607232691696260374427521306463426092845310407501060829
785458746723757546761379851104654851792054526662384418
895992987341951393073975266388728289673760214371236210
264112145935789527542858416400613533627716892779456120
186874921247990441609865814509718935914905246730149465
377165176598674090806431995422853290735991646937445714
436385697648052770751552667606459244776690175503711325
634575043136177153670023736940922813809892943571536171
710537496824966676887471643545820008673029379331900116
027951809706496893667999530691820196895761169036668628
617696438647507871073388161036568167078327673323118951
615849540420375800534053852018797115274532844601902910
047750113695678638565555691083584432169747717364868332
868715902971967023662030287981542443303839769623974899
098624436218342973606013353768876700640893692492883245
393831404834698586207968410957883628205021966762320569
496124646605980079237841886358355305711115463477561562
687763757276960611036276813081474682481319642428937920
443778617727598932129583892501487050928962351413903110
072637114165161468175949069371275914174558439903880601
701955801654931615238025128329815918455607641930469011
755410379572816947204533668585460873917982812656760344
511823912069904738140642948444279834398366377226558484
812813238926443315790544969028052060718933164526790116
162238698716169322161960278588817112933867359585282768
909383970761606259437760484007701574728801918989204305
847761008817393271013296830647181341489903628660229834
072336561390423929998391710495279554725021175966094792
279016505145790792934087044080814791380635243385451695
316224322396015586151702050509964666999147203885532363
965204419499147388926092139012026107026998762903902577
381696679341758541712241859900588013384318634861291635
586823587560090612670264668854230626218440042636024271
309574151600944341977614434375141496690156138945191522
234123044688281179710369365169906652071544952855118468
780431338426145887464926070960707321103892382908552274
353736844908643536010560137919485396610631293406427861
726832704620002292391085747335556042196013029219722918
566993347642816664277138952894832720087143848465971823
590318397226752682577735663344648353862628514302121271
444033338835200471287133041332601316028957438381103372
086091575785555297609665336049205404268135724897018257
362185116350832628762849459160809975237946626909490931
066244628346871445070283107151660837469732865117402771
948615846781866937086617809605087926199343416740129879
598598070785112342790020234047395856045051858569011101
055354477187846014385595789762586068175763711087201185
606293309916101870311395404367518489335512217420825570
157549504384397793887168508219292218772014320751579867
118737250560284378834475850088123481457901706918354792
425051703703520530730319653390310375346263904873090031
927040420070474778337267423311736301460839711541920779
945012413759328673010737323345561965814349119574725470
569891658968671667928208094765481993417551110844375652
731461439272933747775531461511834108499043881513883643
380003034120613576469307115910351205948872093740130949
093626979638077842074722515350437037077958287803845453
471579140173510508139975560107380357803923743979205205
349023958370445098941926738830702620221502212578089603
273102574195338988062685953107341111377524998990567742
088590101346398683943983107408958748935753321945403926
441203480362318359432213589454833991339030833164949510
814829963115380945974602879015318165228653331681021728
883589096708057831147172212441031447737082735840043406
773902935588806307253034142837618580538825570269108633
6,

 

931144559095633232126208229355238422113850001463928526
808806653402284611978749773848642502745750235886919222
407060185428231306967732769619297281980013350268777824
022423404756395906567785248155561826937944274833923740
390738824148161290823737958049820530398382439492832706
492858419464598676976671688576142502366891340675317316
068681637697880248732846321904750966833997786001310309
120200658282221257336135929549036550061744409632977209
462990688392010483186577025080300505439154842173051698
566164323597521225148982722159154848051890417225579119
019977474646952420072055433453392979599830638030975858
156817574776780857341603739955310186275693823208522361
746650294135982762631493630260440296242118468111690424
024695941774984622208982218618787780694924886218778595
539018846269180783840820529157483442192326809757233038
818278544351098716756104360371402697649699164323488272
794689303493004189224068600900181118538604424551652725
042304722435816376266218433390388603467644466976804547
146425331054951217184378808424332594083925155182832982
159472615515341902108058720683125578959246931848261495
828997178013596845354199917231980482567869955990167995
854554369523190165573912977297180517149433490823604959
047106378112471005314643822269585007087011538145234339
976728853532157602057543904854629411274605932452870579
488991136609732783784240829791448744610083328129267239
508122032214799670476779843822277970343325829695026816
171414545909246304506930111866504135926405519019485655
865133813526497856795284293716128205000594291097962910
935411393815561583572518472526153732001163761279287251
157701495751404054444689143593271181671602022147407445
873060064270454341879102067171675018670710714987235637
425866272941497627166081868801157360822250810027481889
585013016212899852611785157751883076569980821005079969
072926332554680153173203338895070032638658125840653573
916883039399935205543633951745787466690148089826117117
657243257831657490663938781351381116227572241303232981
886250802697969239959292657608118217229209868159447930
961381937884588700550406298008045498293126305784409533
501560556090108578930955711133879336299254332440191128
196520251089959813244850562833458669019574381336018553
192547527343317574562714945709282767542782834028937942
861974148687366349450158945232645655529909220798953989
715911622989782045344361002309344806739336182244938807
418669931703683027377130379084982853098491659259855158
405090971105251458954586624908411643177901332132814809
468112362687318141930579642820018914283045529654443063
613539101426483305748985917507581455754515369023026743
836247852886535453326728082133293522658642331299935796
928130018030818480422677538838956965601212138419154504
967380526838935143775254906586599197415240575166801220
910819705656742197761039950106686690504779097552831986
565102429725804173266014453685290093114526437292440433
960407175657685239915448099815850006730551255316627302
862473641786008563606524605856693636013521258486299931
348131511348406427540000225321607508389698318653719703
860084453081285512996165699980676629804843537956663791
253691330505074156414151320627989060040000179137136101
782284956220042393073773213059204000566325536754294942
468703966475952502877230496251160230446734493623723583
120643305322843080431596659694553074795834727587261348
452761015593999698133378994147496753076572214545249782
028809681236010544352042918173982949324045843213997500
927747289206255344505998813223363642439670241693488614
984891331249010095994349944716123699267807724265007800
163927104447490846345745949793759867901511944664572141
882770787332308892319710394555706353736788900616352398
568174198209109851841035446175481815157168443566194952
287646095582408991213117937155107996775981980408528970
628895197912029371688886349466383341466845939920071587
708899546725111932158136397260332482343898814170739226
439579850193142206959785448094168749960987350969632746
340539747621176639385390914364875988478383944443359214
440140902774834231916430993589280322176500958811116810
247681936245520297425538031923074282967992614836681385
929972546222335925060234676206978067676890857594910151
246926089454427102994337686657605459558034155226706786
813285016447366735703175320197499956300746056046025223
803945221000309623868131688157661431915379851843326247
774988476781849670899247695476647289863894085661155646
760184301642424778879265758120778052963325596750282735
202259067839282546552122284318569321373166030338881595
799900424527448286933683599831931697521936312912186779
550013236563233357017656167902265204723932072407915437
555841001651929656271896225468035432161624208383013288
008176043752445489964561523824301518519589295060026337
804737645546962822214476355386509435728553369449179154
910838189392696799279828498200356495478656067045604231
857599722587667905660006500704018219509458973117938900
141103236945291639167579196843196491081624912480118833
206573562435500796465801433325491148403338625389895171
161620423239959958028576907979260625288510598304246063
276100557664043037019646077655342110517465058058795315
235754472729840224279105469929954865835973189577796001
999607794313526433694462036570650431188191095943686626
899813538516152201255109484858519776280255840315096974
446197470078870139104310156576796085569535530444764892
922528705542824326882343868748685737882562018708983899
422574630100067754165868793580710053909215444365946463
095569689379848510581543040740385238615369362912814417
863410613343685695921514222546585751447873232477185120
031331124425336600155149234468119499588081480046942630
182154398154100290513491341501279670005704427624997845
301255410888008631271778703291991671676072348900511543
898473421512234883777985447514247030459817249264809321
336777566203485140278429462979723457867098434006175387
723749320607209331551423558236391128098154843251759636
346798267183062146430491937244685381750958728334948222
216825688745617529096278658251271936077514062764766396
784323111987521932860198805005593967248711774812535999
967653213860730899151881047096921500545532706600825273
588899006473066729110197662897119865915989570612538923
014109557129410747734118494982081343812268567653146808
857906672946006002047955736893123822251642500374931860
091336637778294429299964598430473348422309965502604481
402629942056019613146053399027000684239514840525205181
325118182106162763966758912791816742521921672780852147
090642256925388789393744308634543261238689762110771389
722167845575748732590629180364896316949155971181662724
428860305506839049769694051474503692860332811132673250
835067159115434172543541550179457364857476422333499876
547261156046952577604650762452910572665984710654777112
390243286525513430539790948088946878283900276715395882
464342636874485581596029563902413241866827648084857821
540942490539559960754896869324211084713518100137037746
424318025500509727748178870478328058303473643692954421
197226299278408882009554014193872269524265646083629260
691324693030276253363801051047696248540081844639379543
524625752165198099483302601974027253958017067691799039
549414194757517547200170457875303358509036719640018006
002882274214700409756219860351866595160517010152297965
751373553512459142590184813989792767713317335692994611
825002730112262836830960036679665676980152636930481081
790714009078235715276501439365863373061932594679503332
457414460860816859522814089000110794296203262297437466
957020110058161359038633951548053525522128505696419748
930295629946033753061381308922833974781646054765703108
598344622439265279334313666419202564908209099426821516
744797183226491888898283758180245531699540890747352798
058165118264772970753358612331049981847676238430745896
174595759416037463684266670488554617360079433927593145
407300154913845131713644045496907904546558342023012518
908166333573154503183198780499993463478011954436879279
858220657031419507256566228389546946647506901312402374
220779318214233395890450617215253186546048075354077095
767527130545470868316702154561131280878917303331290092
362287932195995086762813942988338872619529634931584985
374953173523111299932681633042076306818564338219024926
945217147837886148189607497231993645666468756197920434
375977508094402017263819578398097544923345282134032726
672459240329724622873155001654584109366897100258573981
354226915312707211637029583435523073887719388235822521
973991211888125074628735012342305044429597332597213200
409974705846370720637183286264731281965906825541778108
552940108296728437448234144747146139338620028480233484
930048861823085542463506338441437575643009897463416330
649339568818663783446319496653729042595238658137960756
432228513320218091001004745891335102561240390413324427
084452455423397218879456675399221636077770282548422090
980856831062969004310617009873788662440643487294339934
475841761423064584833841167196530745088098089036504100
975671332805186035802031768297142581474100864708292760
282499057279066135166344088523700033335380763004143297
714490622599140435602929530197196405773017566354273327
991669667569538195578486686068341676311315038362764996
385179103397970959991857011531983127760228694099660060
696987967294331330736706919888636678963672397074058124
865622392128920906432406771139134645845977728916839813
106511057294966584582879030626854572141015492101340264
210380297788949266366763908409732717702137484038056286
739528111908126352875347417711188160759367876060415094
940290515895415198587912513601365236667687221495917803
958693029385516864361981358949770163207875477258682372
183825302554330561722507351780057808777840322993164583
302822143351811856524748832439568318834582926640907172
513105422830232026136387371665450431213084477843169628
403559438547443017189272409599049580339283613649369932
465498219335506378270808498759945952623169148849532726
791601420223143549255393150487570606581585973326498812
394040394271014768629353869691485030246481598336980417
241371746191667265029779076459577293462675387187640073
986052094595012589069758978893187512073267107352788457
200061845897861250190451480187846396768701887506814620
983663918236980908975252584930232264069657472600593806
867760449272325385158741138941453919448973985822672072
973873712258800813742549368227040067108727912290470595
398980846924900136645501936856572152665651502849751290
524706924096126749146770951596654782642968239808046373
354424687312841527337193051165248596605716686596044688
347209545125465648324969433521859060549783001432771609
378947915856490722909660930852740527224361850263324870
097880146517617751012628135015932143424256001683749152
150221432920968344081096825556243143357866787649583514
513316905600307145891341981167510647221537790348081879
692328912528074229419324673738343093081590187047190449
465895594284023081816323108484480160595473513456520802
847417352111481405898094746295906608191106702491810255
511568477618934098333683120305508595255373082832947270
584922765961935336474850769512727421388450209291783550
957615844887613269669406697184137244624108061523595474
537549401913436829063220889518888664742856813458980123
186719613682303318436490078491227228988672430164581341
877045898658271874990115268147710152843393502552723858
003832015574627417330843207458990411487456330947464959
143055503950422712401468722273943010722743470173829210
489365706192936575013291888002434341513106481428084410
218067776302464583926173850859700677942426264959992011
707421213388034181456663546921703516072765792240543247
119554578018326667051711735868531938994194235254484252
101997594564032802761609063853910556063300517135898889
778303004801040383499255602035711676712409123070651307
968216379263517679580731162201116943266951391489405905
466126440918380191449595583338132162026012052564867744
233464653772653383861392634753585741688801525302207514
716521501132103389833566878611447566787092048482471271
030493737888238127054515332372608243140383344255126027
921230462140200034876362987089465269431051533003585074
124058613217593018664914883439502592893720931662651946
350727983573191101710254076422054078660592193264714148
948752944517154861642074033834860228570396665501570205
083724872812398796201094386773670614901176864646233356
987469041857789295767653848581870463515295024728954405
255715515568044393547046567373353698121277710594358244
434790271942656

Leave a Reply